Le modèle de Weibull permet de couvrir les cas où le taux de défaillance l est variable.
Il permet aussi d'ajuster les différentes périodes (jeunesse à obsolésence).
EXPRESSIONS MATHEMATIQUES :
On se reportera au cours de mathématique pour la justification de ces expressions.
R(t) est la probabilité de bon fonctionnement à l'instant t.
F(t) est la probabilité que le dispositif soit en panne à l'instant t.
landa(t) est un estimateur de fiabilité.
Remarque :
f(t) est une densité de probabilité.
E(t) exprime le temps moyen de bon fonctionnement.G est fonction eulérienne de seconde espèce
Des tables numériques adaptées permettent de déterminer la moyenne et l'écart type :
La durée de vie est déterminée à partir de R(t) :
Si R(t) = 0,9 :
DETERMINATION GRAPHIQUE DES PARAMETRES DE WEIBULL :
On utilise le papier d'Allan Plait
Celui-ci comporte 6 axes :
- A : Axe de t
- B : axe de F(t) (en %)
- a : Ln (t)
- b : Ln Ln (1/[1-F(t)])
- X & Y : permettent de déterminer béta (Y = béta X)
L'historique permet de déterminer des TBF et des fréquences cumulées de défaillance F(i), approximation de F(t).
- Calcul des TBF
- Classement des TBF en ordre croissant
- N = nombre de TBF
- Recherche des données F(i) F(i) représente la probabilité de panne au temps correspondant au TBF du ième défaillant.
- Si N > 50, regroupement des TBF par classes avec la fréquence cumulée :
- Si 20 < N ¾ 50, On affecte un rang "i" à chaque défaillance (approximation des rangs moyens) :
- Si N ¾ 20, On affecte un rang "i" à chaque défaillance (approximation des rangs médians) :
On affecte un intervalle de confiance à F(t) En général, P = 0,90 (P : niveau de confiance) On utilise pour cela des tableaux de valeurs.
Si le nuage de points correspond à une droite, alors gamma = 0.
Si le nuage de points correspond à une courbe, on la redresse par une translation de tous les points en ajoutant ou en retranchant aux abscisses "t", une même valeur (gamma) afin d'obtenir une droite.
Ce redressement peut se faire par tâtonnement ou avec la relation :
en choisissant 3 points tel que F(t2) - F(t1)= F(t3) - F(t2)
(espacer les points sans prendre les extrêmes)
La droite de régression linéaire coupe l'axe A à l'abscisse t = éta.
REMARQUE : Si le nuage de point met en évidence plusieurs droites, on déterminera plusieurs pentes b montrant des populations distinctes qui correspondent à des modes de défaillances successifs et différents (défaillances juvéniles suivit de défaillances par usure par exemple).
EXPLOITATION GRAPHIQUE ET INTERPRETATION DES PARAMETRES DE WEIBULL :
Ce paramètre permet d'utiliser le papier d'Allan Plait quelque soit l'ordre de grandeur de t. Il n'a donc pas à être interprété.
Ce paramètre donne des indications sur le mode des défaillances et sur l'évolution du taux de défaillances dans le temps :
Ce paramètre donne des indications sur le retard de la fonction f(t).
